少数の予測は異なる：パート1

規模が重要

小売業者はなぜ予測される需要に合わせて在庫を増やさないのでしょうか?生ナマコの需要が 1 日 100 個ではなく 1 個である場合、100 個ではなく 1 個だけ用意しておけばよいのでしょうか?売れ筋商品で 10% の誤差を達成できるのであれば、売れ筋商品でも同様に 10% の誤差を達成できるはずです。

この推論は、ナイーブなスケーリングの罠を例示しています。私たちは、テクノロジーと自然のさまざまな領域でナイーブなスケーリングに遭遇します。スーパーマーケットは単なる大きな店舗ではないのに、なぜ違うやり方で運営する必要があるのでしょうか?国はただの大きな村ではないのに、なぜ違う種類の行政が必要なのでしょうか?アリは自分の体重の約50倍を運ぶことができるので、人間と同じ大きさだったら私たちよりもずっと強いのではないでしょうか。ゾウはただの大きなインパラではないのに、なぜこんなに見た目が違うのでしょうか?

ジェフリー・ウェスト著『スケール：生物、都市、企業における生命、成長、死の普遍法則』（ペンギン社、2018年）で鮮やかに説明されているように、異なるプロパティのスケールは異なるということを無視すると、単純なスケーリングの罠に陥ってしまいます。システムの 1 つの特性、たとえば重量に係数 100 を適用しても、サイズ (重量は長さの 3 乗に比例するため、これは当然のことですが) や強度 (それほど単純ではありませんが) などの他の特性に必ずしも同じ係数が適用されるわけではありません。インパラとゾウを比較してみましょう。インパラの足を見てください。小さくて優雅で、壊れやすいです。ゾウは、はるかに重くて大きいだけでなく（インパラの約 100 倍の重さ、約 5 倍の長さ）、外見も異なります。ゾウは確かに独自の優雅さを持っていますが、明らかに、ゾウの脚は弱々しくも小さくもなく、むしろ、ゾウの全体的なサイズが大きいことを考慮しても、イマパラの脚よりもはるかに太いのです。何故ですか？強さと体重の尺度は異なります。体重の 100 倍は、インパラと比較した場合、象の強さの 100 倍にはつながりません (全体的な体格が大きいことを考慮しても)。そのため、象は体を支えるために、はるかに太い脚を必要とします。この非比例的なスケーリングは、ゾウよりもはるかに大きな哺乳類に遭遇しないという根本的な生物物理学的理由です。ゾウをかなり大きな係数で拡大すると、結果として生じる動物の脚は体全体よりも太くなります (クジラなどの巨大な哺乳類には脚がなく、理由があって海に住んでいます)。非比例的なスケーリングは、アリが人間と同じ大きさになったとしても心配する必要がないことも意味します。アリは人間よりそれほど強くないからです。非比例スケーリングにより、スーパーマーケットの運営は小規模な店舗の運営とは別になり、国の行政は村の行政とは別々に組織化できるようになります。最後に、非比例スケーリングは、小さな数値の予測は大きな数値の予測よりも相対的に不正確さが高くなることを意味します。

不確実性はどのように拡大するか

予測を扱うとき、私たちは単純なスケーリングの罠に陥りがちです。なぜなら、「大きい」と「小さい」の違いは、ゾウとインパラほど明白ではないからです。結局のところ、これは数字に関することであり、掛け算や割り算で簡単にスケールアップしたりスケールダウンしたりできます。評価パイプラインは、あらゆる規模の数値を取り込み、適切に評価結果を生成します。このような評価設定は、技術的には任意に拡大または縮小されます。つまり、予測値 1.2 と実際値 1 を比較する場合と同じツールを使用して、予測値 1,200,000 と実際値 1,000,000 を比較できます。ただし、機能的には、大規模な予測の 20% の誤差は、後者の 20% の誤差と同じように解釈することはできません。

ゾウ、アリ、国家の場合、非比例的なスケーリングは基礎となる物理的および社会的ネットワークの構造によるものですが、予測の不確実性の非比例的なスケーリングは、集約による正と負のノイズ変動のキャンセルによって暗示されます。つまり、ある程度のノイズを含むプレッツェルの日次レベルの予測があると仮定します。毎日プレッツェルを 5 個販売すると予測したが、3 個しか売れず 2 個を処分しなければならない場合 (数時間以上経過したプレッツェルを食べたり販売したりすることは考えないでください) があり、需要が 8 個である場合もあります (潜在的顧客が不満を抱くことになります)。長期的には平均 5 個になります。つまり、プラスとマイナスの変動は相殺されます。予測と実際の間の平均絶対誤差は典型的な誤差を定量化し、これを平均売上高 5 で割ると相対的なパーセンテージ値が得られます。このパーセンテージ誤差が小さいほど良いです。1年後（365日後）のプレッツェルの需要数は、次のヒストグラムのようになります。

1 日の売上が 5 に完全に一致したのは約 70 日だけで、売上が多少ずれることも多かったものの、平均売上は 5 に一致しました。

パン屋ではプレッツェルを何個焼くかという決定は毎日行われますが、他の決定は他の時間スケールに関係します。生地の原料の補充は毎日ではなく、毎週行う必要があります。週レベルで予測を評価するために、毎日の予測を週全体に集計し、週の総売上と比較できるプレッツェル 35 個の予測を算出します。週レベルではどのくらいのパーセンテージの誤差が予想されますか?週レベルの相対誤差は日レベルの誤差よりも小さくなければなりません。つまり、異常に低い売上 (4 以下) の日は、異常に高い売上 (6 以上) の日までバランスが取れている必要があります。潜在的顧客の非常に不確実な個々の購入決定が多数加算され、かなり確実な総売上高に達します。各予測期間における実際の売上は、予測値の周りでランダムに変動します。このような変動値を合計すると、マイナスの変動とプラスの変動が相殺される量が多くなります。週次売上のヒストグラムは、絶対値では上記の日次売上のヒストグラムよりも広くなっていますが (x 軸が変更されていることに注意)、相対値では狭くなっています。

標準偏差で測定される分布の幅は、分布平均の平方根とともに増加し、相対的な幅 (標準偏差を平均で割ったもの) は平均の平方根の逆数とともに減少します。言い換えると、予測値が大きい場合は多くの不確実なプロセスが影響し、正の変動と負の変動が相殺されて実際の値が予測に比較的近くなりますが、予測値が小さい場合はそのような不確実なプロセスが少数しか影響せず、変動が生き残り、予測と実際の相対的な差を支配する可能性が高くなります。

予想される予測誤差のこの非比例的なスケーリングは、まず第一に、異なる時間スケールで予測される特定の製品で発生します。1 時間あたりに販売されるプレッツェルの数は非常に不確実ですが、1 日あたりのプレッツェルの数はより予測可能で、1 週間あたりのプレッツェルの数はより確実です。ただし、非比例スケーリングは、特定の時間スケールでの販売率が異なるさまざまな製品の動作も制御します。1 日あたりのパンの数の予測 (たとえば、約 50 個) はプレッツェルの予測 (約 5 個) よりも正確であり、プレッツェルの予測はウェディング ケーキの予測 (約 0.05 個) よりもはるかに正確です。繰り返しになりますが、この精度のスケーリングは相対的な誤差を指し、絶対的な誤差は販売率とともに増加します。特定の日にパンが 5 個程度売れることはよくありますが、ウェディング ケーキの変動は最大でも 1 個です (通常は 0 個しか売れず、たまに 1 個売れることもあります)。

動物の強さが体重に比例しないのと同様に、予測の予想誤差も予測値に比例しません。その結果、ゾウは大きなインパラのようには見えなくなり、予測値が大きくなるほど相対誤差も小さくなります。